授業の主題
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曲線と曲面の微分幾何学入門
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授業の目標
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本授業では，曲線と曲面の微分幾何学的性質の講義と演習を行います。曲線と曲面の微分幾何学とは，身近な幾何学的対象である曲線や曲面の性質を，主に微分積分学や線形代数学を使って調べる分野のことです。これらの内容を用いることにより，曲線や曲面の曲がり具合を表す「曲率」が数学的に扱うことができ，興味深い性質を導くことができます。本授業では，空間内の曲面の微分幾何学的性質に関する基礎的な知識を得ることを目標とします。また，曲面の幾何学的性質の中で最も重要なものの１つである「ガウス・ボンネの定理」について，その意味と応用を理解できることもあわせて目標とします。
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学生の学修目標
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(1) 曲面のパラメータ表示と正則曲面の概念を知る。
(2) 曲面のパラメータ変換によらない量の概念を知る。
(3) ガウス・ボンネの定理を通して曲面の局所理論と大域的理論との関係を理解する。
(4) 曲面論の基本的性質を様々な問題に応用することができる。
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学修成果
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(1) 曲面のパラメータ表示と正則曲面の概念を知る。
(2) 曲面のパラメータ変換によらない量の概念を知る。
(3) ガウス・ボンネの定理を通して曲面の局所理論と大域的理論との関係を理解できるようになる。
(4) 曲面論の基本的性質を様々な問題に応用することができるようになる。
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授業概要
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1. ガイダンス，曲面論入門 （日本語による授業）
2. 曲面のパラメータ表示
3. 曲面の例
4. 第一基本形式，第二基本形式
5. ガウス曲率・平均曲率
6. 演習（曲面のパラメータ表示）
7. 主曲率・ガウス曲率・平均曲率
8. 主方向・漸近方向
9. 測地線
10. 演習（曲面の曲率・測地線）
11. ガウス・ボンネの定理
12. ガウス・ボンネの定理の応用
13. 演習（ガウス・ボンネの定理）
14. 曲面論の進んだ話題
15. 総括
ただし，受講生の予備知識や理解の状況により内容や順序が変わることがあります。２週間を１セットに考え，演習を対面授業（ただし受講生を分散させた形で）で実施します。また，本授業ではアクティブ・ラーニングとして授業終了の際にミニッツペーパを記入してもらいます。授業内容および教科書の予習, 復習をしておくこと。予習に要する時間30分, 授業後に内容を理解し演習問題を解くのに要する時間60分,さらにそれらの学習時間を含め, 期間を通して通算60時間の自習時間が必要である。
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評価方法と割合
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評価方法
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次項の項目及び割合で総合評価し、次のとおり判定する。
「Ｓ（達成度90％～100％）」、「Ａ（同80％～90％未満）」、
「Ｂ（同70％～80％未満）」、「Ｃ（同60％～70％未満）」を合格とし、
「不可（同60％未満）」を不合格とする。（標準評価方法）
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評価の割合
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【授業には３分の２以上の出席を必要とする】
・（50）％ ミニッツペーパー・通常レポート
・（50）％ 期末レポート
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授業時間外の学修に関する指示
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予習に関する指示
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授業内容および教科書の予習をしておくこと。予習に要する時間30分,さらに下記で定める復習などの学習時間を含め, 期間を通して通算60時間の自習時間が必要である。
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復習に関する指示
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授業内容および教科書の復習をしておくこと。授業後に内容を理解し演習問題を解くのに要する時間60分,さらに上記で定めた予習などの学習時間を含め, 期間を通して通算60時間の自習時間が必要である。
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教科書・参考書
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教科書
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9784785310912
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小林昭七
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裳華房
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1995
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978981151738
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Shoshichi Kobayashi
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Springer
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2019
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参考書
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9784785315634
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梅原雅顕，山田光太郎
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裳華房
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2015
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9784768704172
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中内伸光
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現代数学社
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2011
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教科書・参考書補足
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本授業の内容は曲線と曲面の微分幾何の標準的カリキュラムなので紹介したどのテキストでもしっかりと勉強できますが，今回は小林昭七先生の本の内容に沿って授業を進めます。英語クラスの学生は，その英訳本の使用を推奨します。なお同種のテキストとして梅原雅顕先生・山田光太郎先生の本，またおやじギャグで楽しみながら勉強したい学生は中内伸光先生の本をすすめます。
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オフィスアワー等（学生からの質問への対応方法等）
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授業に関する質問等はe-mail（アカンサスポータル）で予約してください。
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履修条件
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第1クォータに開講される「幾何学１A」を受講すること。
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カリキュラムの中の位置づけ
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（教職について）本科目は中一種，高一種「数学」の教科に関する専門的事項の必修科目である。
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特記事項
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本授業で設定する英語のレベルは以下の通りです。
［総合指標］初級・中級レベル ※履修者の状況により，授業の中で調整することがあります。
［板書・資料に用いる言語］主に英語（初回を除く）（※本授業は教員免許状の教科に関する科目の総括科目で，本内容をもとに日本で教育する場合に対応する日本語を理解していないと問題があるので，日本語による解説も入れる）
［担当教員が話す言語］英語と日本語を混用する（注：高度な内容については日本語で説明します。）
［学生が話す・書く言語］英語と日本語いずれでも可。ただし，英語クラスは英語で書いたり話したりするよう努めること
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